2018-04-12

三体运动没有解析解，那么自然界又是如何运行的呢？

三体问题没有能用显式表达的解，但是它有 $C^\omega$ 的实解析解，这是由ODE的理论保证的，解的正则性很完美。

麻烦的地方在于所谓的混沌性。一般我们说一个动力系统是混沌的，如果同时满足：

1. 初值敏感性。两个在0时刻任意近的点都会在时间足够大后分离的足够远。

2. 拓扑传递性。有一条轨道在相空间里是稠密的。

3.周期轨道的集合在相空间里是稠密的。

在混沌系统里，数值模拟会在长时间后变的不准确，这是由系统本身的性质决定的。三体问题，以及天气预报都属于混沌系统。注意，尽管我们没有显式解，数值模拟也会在长时间失效，我们依然可以定性地去分析这个解，这就是庞加莱的伟大创见。

根据Etienne Ghys，我们可以把动力系统的发展分成三个阶段 :-)

1. 牛顿时代：我们有一个ODE，我们的任务是找到它的(显式)解。

2. 庞加莱时代：我们有一个ODE，我们的任务是对它的解说点什么。

3. 托姆-斯梅尔时代(也就是当下)：我们没有ODE，但是要对它的解说点什么。-_-#

解释一下最后一条。为什么说我们没有ODE？因为限于实验手段的误差，我们实际上得到的是一族参数下的ODE，我们不知道参数的准确值。这个时候我们就要对这一族ODE的解说点什么。

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更新一个托姆-斯梅尔风格的例子：

考虑最简单的一维实动力系统： $f: I\rightarrow I$ ，其中 $I=(-1,1)$ ， $f(x)=1-ax^2$ ，其中 $a\in \mathbb{R}$ 为参数。我们考虑以下的动力系统：一个点 $x$ 的轨道为： $\left\{x,f(x)\cdots, f^{\circ n}(x),\cdots\right\}$ ，其中 $f^{\circ n}$ 为 $n$ 次迭代。我们有如下结果：