如何理解矩阵转置和求逆的可交换性？

这是一个有趣的问题，但是要理解它不简单，甚至你会后悔干嘛要去理解什么几何。
由于过程很长，我帮你理一下思路：
矩阵（算子）对应于一个空间中的子空间（平面），取逆和取对偶（转置）变成一个空间上的简单变换。这两个变换是显然可交换的。

对了，矩阵的对偶是转置在复数域上的推广，一个矩阵的对偶是取转置后取复数共轭。一个实矩阵的对偶和转置是一样的。
要理解这个问题，需要了解什么叫Krein空间。我就不玩复杂的，尽量简单点。一个从 $\mathcal{H}:=\mathbb{C}^n$ 映到自己的矩阵（线性映射） $A$ 可以看成是积空间 $\mathbb{C}^{2n}=\mathcal{H}\times\mathcal{H}=\mathcal{H}^2$ 中的一个线形闭子空间（也有人管这个叫“图”），就是说我们定义
$y=Ax\Longleftrightarrow (x,y)^{T}\in A$ ,
（右边的 $A$ 不再是一个矩阵了，而是一个空间）。其实不难理解，一个矩阵可以看成是一个它的图像，也就是说一个平面,放过来，一个（足够好的）平面唯一的确定一个矩阵。

于是我们可以把它的逆也看成一个子空间 $A^{-1}:=\{(y,x)^T\in \mathcal{H}^2; (x,y)^T\in A\}$
可以简单的证明，这个空间对应的矩阵刚好是矩阵的逆矩阵。

我们可以引入一个向量逆运算：对于一个向量 $\hat{f}=\begin{pmatrix}f\\ f$ , 定义它的逆 $\hat{f}^{-1}:=\begin{pmatrix}f$ . 于是 $\hat{f}\in A$ 当且仅当 $\hat{f}^{-1}\in A^{-1}$ .

对于空间 $\mathcal{H}^2$ ,我们引入下面的Krein内积。

这里： $(f,g)_{\mathcal{H}}=f\cdot \overline{g}$ .
于是，矩阵的对偶矩阵可以看成是这个空间在krein内积下的正交空间。

（想一想为什么？），有了这些几何理解后，下面的结果就是简单。

我有时间再解释吧，这种思维可以推广到更一般的情况。这种把算子看成空间的思维是现在泛函分析的一般方法了，没什么好奇怪的。

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：dhchen

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如何用简单易懂的例子解释隐马尔可夫模型？从更几何一点的角度来说，有限维线性空间里的泛函可以看作是一维的线性映射，所以它有n-1维的核空间，也就是这个空间里的向量经过泛函作用之后得到了0。如果我们在这个线性空间上按照欧式几何规定内积

$<\alpha, \beta> = \beta^T\alpha = \alpha^T\beta$

泛函的特征向量实际上就是这个核空间的正交补，或者用更几何的说法，它的特征向量就是这个n-1维超平面的法向量。注意同一个超平面的法向量可以有不同的方向（正负）以及长度，它们对应了线性相关的一组泛函。

考虑一个n维到n维的线性映射A，它将一个n-1维超平面映射到了另一个超平面，这个新的超平面也有对应的法向量，一般来说它并不是原来的法向量经过A映射得到的结果，因为一般的线性映射并不会保证内积的不变性。那么新的法向量和原来的法向量究竟是什么关系呢？

实质上就是要找到一个映射B，使得：

$<A\alpha, B\beta> = <\alpha, \beta>$

对于内积来说，有

$<A\alpha, \beta> = <\alpha, A^T\beta>$

因此显然有

$B = (A^T)^{-1}$

可见A与 $(A^T)^{-1}$ 是一对保证内积不变的线性映射，将它们分别作用于两个向量，可以使得两个向量的内积保持不变。

但是内积是对称的，那么如果我反过来，将 $(A^T)^{-1}$ 作用到n-1维平面上，那法向量的线性映射就是A了，这说明取转置再取逆这个操作，重复执行两次，能得到原始的线性映射！于是我们就得到

$(((A^T)^{-1})^T)^{-1} = A$

也就是

$(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$

这是从保持内积不变的角度来讨论。从这里也可以看出，保内积的两个映射永远是一对，如果去掉取逆的过程，就是之前的对偶的概念了。

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：灵剑

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